Veja um exemplo de um problema de análise combinatória e como montamos os seus agrupamentos.
Dado o conjunto B dos algarismos B = { 1,2,3,4}. Qual a quantidade de números naturais de 3 algarismos que podemos formar utilizando os elementos do grupo B?
Esse é um tipo de problema de análise combinatória, pois teremos que formar agrupamentos, nesse caso formar números de 3 algarismos, ou seja, formar agrupamentos com os elementos do conjunto B tomados de 3 em 3.
Veja como resolveríamos esse problema sem a utilização de critérios ou fórmulas que o estudo da análise combinatória pode nos fornecer.
Esse esquema, conhecido como árvore das possibilidades, construído acima representa todos os números naturais de 3 algarismos que podemos formar com os algarismos 1,2,3,4, portanto, concluindo que é possível formar 24 agrupamentos.
Para descobrir essa quantidade de agrupamentos possíveis não é necessário montar todo esse esquema, basta utilizar do estudo da análise combinatória que divide os agrupamentos em Arranjos simples, Combinações simples, Permutações simples e Permutações com elementos repetidos. Cada uma dessas divisões possui uma fórmula e uma maneira diferente de identificação, que iremos estudar nessa seção.
Fatorial
O fatorial de 5 é representado por 5! e lê-se 5 fatorial.
5! é igual a 5 . 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 120, assim como 4! é igual a 4 . 3 . 2 . 1 que é igual a 24, como 3! é igual a 3 . 2 . 1 que é igual a 6 e que 2! é igual a 2 . 1 que é igual a 2.
Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.
Genericamente, n! = n.(n-1)(n-2). ... . 3.2.1
Continue aprofundando sua aprendizagem na produção da página em: http://www.matematicadidatica.com.br/Fatorial.aspx
Principio Fudamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem diz que um evento que ocorre em n situações independentes e sucessivas, tendo a primeira situação ocorrendo de m1 maneiras, a segunda situação ocorrendo de m2 maneiras e assim sucessivamente até a n-ésima situação ocorrendo de mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto:
Além da aprendizagem da exposição do assunto em nosso encontro presencial, podemos aprofundar explorando a página http://www.matematicadidatica.com.br/PrincipioFundamentalContagem.aspx.
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação simples.
Se chamarmos de Pn a permutação simples de n elementos distintos, podemos calculá-la através da seguinte fórmula:
Pn = n!
Resolvendo o exemplo com o uso da fórmula temos:
Para se apropriar desta ferramenta da análise combinatória, veja algumas situações de aplicações na continuação da página em: http://www.matematicadidatica.com.br/PermutacaoSimples.aspx e permutação com elementos repetidos em: http://www.matematicadidatica.com.br/PermutacaoElementosRepetidos.aspx
Arranjo Simples
Em casos com elementos distintos, onde tanto a ordem de posicionamento no grupo, quanto a natureza dos elementos, os elementos em si, causam diferenciação entre os agrupamentos, estamos diante de um caso de arranjos simples.
Ao trabalharmos com arranjos simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:
Neste mesmo exemplo, utilizando a fórmula temos:
Continue explorando o conteúdo na página de origem http://www.matematicadidatica.com.br/ArranjoSimples.aspx
Agrupamentos com elementos distintos, não se alteram mudando-se apenas a ordem de posicionamento dos elementos no grupo. A diferenciação ocorre apenas, quanto à natureza dos elementos, quando há mudança de elementos. Neste caso estamos tratando de combinação simples.
Ao trabalharmos com combinações simples, com n elementos distintos, agrupados p a p, com p ≤ n, podemos recorrer à seguinte fórmula:
Ao utilizarmos a fórmula neste nosso exemplo, temos:
Continue explorando o conteúdo na página de origem http://www.matematicadidatica.com.br/CombinacaoSimples.aspx
Probabilidade
Sendo E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a probabilidade de E ocorrer é igual a:
A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá:
0 ≤ P(E) ≤ 1
Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por porcentagens
Veja definições e aprofundamento na própria página do conteúdo exposto acima: http://www.matematicadidatica.com.br/ProbabilidadeConceitos.aspx
Outras links de onde extraímos os textos: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
Turma de administração da FACITEL em Penalva - MA.
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| Turma de Administração na FACITEL em Penalva - MA |
Conforme combinado, aqui está o conteúdo, que disponibilizaria no blog, seguido de seus respectivos links para aprofundamento de acordo com o interesse em ampliar a aprendizagem.
Atividade para entregar no próximo encontro, abaixo:
1) Oito pessoas irão acampar e levarão quatro barracas. Em cada barraca dormirão duas pessoas. Quantas são as opções de distribuição das pessoas nas barracas?
2) Em uma sapateira irei guardar 3 sapatos, 2 chinelos e 5 tênis. Quantas são as disposições possíveis desde que os calçados de mesmo tipo fiquem juntos, lado a lado na sapateira?
3) Grêmio (RS), Flamengo (RJ), Internacional (RS) e São Paulo (SP) disputam um campeonato. Levando-se em conta apenas a unidade da federação de cada um dos clubes, de quantas maneiras diferentes pode terminar o campeonato?
4) Perpendiculares a duas retas paralelas não sobrepostas, foram traçadas outras três retas paralelas não sobrepostas. Formaram-se então seis pontos distintos nestes cruzamentos de retas. Quantos triângulos distintos podemos formar interligando três pontos quaisquer?
5) Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra CALOUROS, tal que sempre haja a presença da sequência OURO, nesta ordem, e as letras C e S nunca estejam juntas qualquer que seja a ordem?
Abraço a todos e até próximo encontro.
